אבני הבניין של המתמטיקה- המספרים הראשוניים

המתמטיקאי אוקלידס היה הראשון שהוכיח שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. המספרים הראשוניים מהווים את אבני הבניין של כלל המספרים כי מהם ניתן להרכיב על ידי פעולת כפל כל מספר טבעי קיים. המספרים הראשוניים בני ספרה אחת הנם 2,3,5,7 כשהמספר 11 הנו המספר הראשוני הקטן ביותר בן שתי ספרות.
את המספרים הראשוניים ניתן לברור במה שנקרא "נפת ארטוסתנס", שיטה שהומצאה על ידי המתמטיקאי היווני ארטוסתנס. לפי שיטה זו משמיטים קודם את כל המספרים הזוגיים ואחר כך את כל אלה שמתחלקים ב-3 וב-5, ובעצם כדי לבדוק אם מספר הוא ראשוני או לא, מספיק לנו לבדוק אם הוא מתחלק במספרים ראשוניים אשר קטנים או שווים לשורש הריבועי שלו.

ומה בנוגע ל"מספרים ראשוניים תאומים"?

"מספרים ראשוניים תאומים" הנם זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2. כך למשל: 11-13, 17-19, 29-31 וכו'. הקטנים ביותר הם 3-5.
השאלה הנשאלת היא האם המספרים הראשוניים התאומים מסתיימים בשלב מסוים או קיימים אינסוף כמותם. זאת נחשבת אחת השאלות הפתוחות בתחום תורת המספרים. ההשערה המקובלת היא שקיימים אינסוף מספרים כאלה. אך מה שבכל זאת משערים הוא ששכיחותם של המספרים הראשוניים התאומים פוחתת והולכת ככל שגדלים המספרים הראשוניים, שכן גם המספרים הראשוניים פוחתים והולכים ככל שמגלים יותר ויותר מהם.

מספרי פרמה

המתמטיקאי הדגול פייר דה פרמה, שכונה "נסיך החובבים", שכן בעיסוקו הוא היה משפטן אך התעסק הרבה בתורת המספרים, טען שמצא נוסחה לפיה ניתן לגלות מספרים ראשוניים. לפיו, כל מספר שיש בו את הצורה: 2 בחזקת (2 בחזקת n)+1, (קודם יש לטפל ב2 בחזקת n) (n=כל מספר טבעי), הוא אמור להיות ראשוני. לימים התברר שכל זמן שנוסחת פרמה זו נותנת את המספר 65,537, המספרים אכן ראשוניים, המספר שבא אחרי זה מתברר שהוא מספר פריק. אכן המתמטיקאי לאונרד אוילר גילה שהמספר 4294967297 אינו ראשוני ומתחלק ל641 ו6700417. בתקופתו של אוילר לא היו מחשבים ולכן הישגו להגיע למסקנה שהגיע אליה הוא בהחלט הישג ראוי. לימים המתמטיקאי פרידריך גאוס הוכיח שאת מספרי פרמה ניתן לבנות כמצולעים בעזרת סרגל ומחוגה בלבד, למרות היותם ראשוניים, כך בנוגע למצולע בן 17 צלעות. על מצבתו של גאוס מופיע מצולע בן 17 צלעות, לאות ציון של אחד מהישגיו המתמטיים הגדולים.

שימוש במספרים ראשוניים לתקשורת עם אינטליגנציות זרות

מתוך הנחה (עם הסתברות גבוהה מאוד) שקיימות ישויות אינטליגנטיות ברחבי היקום, ולצורך שלנו נעסוק רק ברמת גלקסיית שביל החלב, יש לשער שהגיעו לטכנולוגיית מחשב ולידע מתמטי מתקדם, ושניתן לתקשר עמם. התדר ליצור עמם תקשורת רדיו, מבוסס על קו פליטת הספקטרום של יסוד המימן הרווח כל-כך ביקום, והוא בערך 1420 מגה הרץ. כדי להסב את תשומת לבה של אינטליגנציה מפותחת, נשדר את המספרים הראשוניים: 2,3,5,7,11,13 וכך הם יניחו שיש למסר הגיון מתמטי ולא מספרים שרירותיים (את המספרים הראשוניים נשלח בצורת ביפים). יותר מזה: ניתן לנצל את העובדה שמחשב (מניחים שהגיעו לטכנולוגיית מחשב) פועל בשיטה בינארית של 1 ו-0, ולשלוח להם בשיטה הבינארית מספר שהנו פריק רק לשני מספרים ראשוניים. למשל: 35 שהוא פריק ל-5 ול-7. המספר 1 יהווה בתמונת התשבץ ריבוע שחור והמספר 0 יהיה ריבוע ריק. כך יוכלו לצייר תמונת תשבץ בה מופיע מבנה סכמטי של יצור על כדור הארץ עם ראש, גפיים עליונות וגפיים תחתונות (מזכיר את התשבצים בעיקרון של "שבץ ושחור" שיוצרים תמונת תשבץ).

מטרה שימושית- הצפנה

חוץ מהיות העיסוק במספרים ראשוניים בגדר עיסוק מתמטי טהור, יש לו גם משמעות שימושית. עדי שמיר, מדען מחשבים ישראלי מ"מכון ויצמן" מצא דרך בתחום ההצפנה להשתמש במספרים ראשוניים ענקיים במסגרת של אבטחת מידע. הוא מצא דרך להצפין מידע על ידי מספרים פריקים ענקיים אשר הם פריקים רק לשני מספרים ענקיים ראשוניים. אחת מהם היתה בצורת אלגוריתמים בשיטת ההצפנה הנקראת RCA, על שם שלושת ממציאי האלגוריתמים: רון רובסט, עדי שמיר ולאונרד אדלמן, שפירסמו אותו בשנת 1977. שיטתם מבוססת על הכפלת שני מספרים ראשוניים ענקיים זה בזה, מתוך השערה שיקח אלפי שנים גם בטכנולוגיית מחשבים מתקדמת ביותר, למצוא את שני המספרים הפריקים שמהווים את הגורמים של המספר הסופר ענקי הראשוני.

מציאת מספרים ראשוניים על ידי מחשב (נכון ל-10.01.2018)

המספר הראשוני הגדול ביותר שהתגלה על ידי מחשב הוא 2 בחזקת 77,232,917 פחות 1. הוא מורכב מיותר מ23,000,000 ספרות. יש לציין שמציאת מספרים ראשוניים הנו פרויקט אשר משתתפים בו הרבה מחשבים בעולם שבעליהם ברגע ההפעלה מנצלים רק חלק מהפוטנציאל הגלום במחשב באותו רגע. אותו חלק בפוטנציאל המחשב שאינו מנוצל, יכול באותו זמן לשמש כעזר כדי למצוא מספרים ראשוניים ענקיים חדשים, מעין מפעל חינמי כמו כתיבת הויקיפדיה על ידי גולשים מתנדבים.